Родился 15 ноября 1914 года в селе Большие Щербиничи Злынковской волости Новозыбковского уезда Черниговской губернии (Новозыбковский район Брянской области) в крестьянской семье.
Учился в семилетней школе г. Злынки, в фабрично-заводском училище в г. Новозыбкове и редакционно-издательском техникуме в г. Москве. В 1937 г. окончил исторический факультет Смоленского педагогического института. В 1958 г. в специализированном совете при Киевском ордена В. И. Ленина государственном университете им. Т. Г. Шевченко защитил диссертацию «Отмена крепостного права и крестьянское движение в Таврической губернии в 1861–1863 гг.» на соискание ученой степени кандидата исторических наук. Там же в 1970 г. защитил диссертацию «Местные Советы в возрождении и дальнейшем развитии экономики и культуры Крыма в послевоенный период. 1945–1958 гг.» на соискание ученой степени доктора исторических наук. В 1972 г. получил звание профессора.
Трудовую деятельность начал в 1936 г. преподавателем истории в средней школе слепых детей. В 1937 г. направлен заведующим учебной частью и учителем истории средней школы в поселок Климов Орловской области. В 1938–1940 гг. являлся учителем истории средней школы г. Клинцы.
В феврале 1940 г. призван в ряды Советской Армии. Начал службу рядовым в 75-м стрелковом полку 31-й стрелковой дивизии. Полк в 1940 г. принимал участие в Советско-финской войне 1939–1940 гг. Назначен заместителем политрука 45-миллиметровой противотанковой батареи 75-го стрелкового полка. Весной 1941 г. переведен в 205-й отдельный саперный батальон, где избран ответственным секретарем комитета комсомола батальона. В августе 1941 г. с батальоном вступил в Иран.
В 1941–1942 гг. – инструктор пропаганды 76-го полка связи 44-й Армии. Участвовал в Керченско-Феодосийской десантной операции. Миноносец «Способный», на котором десантировалась подразделение Максименко М. М., был торпедирован и поврежден. Часть десанта подобрана миноносцем «Железняков». Высажена в Крыму в январе 1941 г. Назначен инструктором пропаганды 818-го стрелкового полка 236-йстрелковой дивизии 51-й Армии. Весной 1942 г. ранен разрывной пулей в бедро правой ноги. В течение 1942–1944 гг. находился на лечении в госпиталях Краснодара, Баку, Ташкента, выписан инвалидом 2-й группы.
После демобилизации занимал должности инструктора отдела пропаганды Симферопольского горкома партии (1944–1946 гг.), являлся Вторым секретарем районного комитета партии (Симферополь) (1946–1947 гг.), в 1947–1952 гг. – заведующий областным отделом культурно-просветительной работы при облисполкоме (Симферополь). С 1952 по 1956 гг. – заместитель заведующего отделом науки и культуры, позже – заместитель заведующего отделом пропаганды и агитации Крымского обкома партии (Симферополь), в 1956–1960 гг. – заведующий лекторской группой Крымского областного комитета партии. С 1960 по 1964 гг. – проректор по учебной и научной работе Крымского государственного педагогического института им. М. В. Фрунзе, в 1963 г. – утвержден в ученом звании доцента по кафедре истории СССР этого же вуза, в 1964–1984 гг. – заведующий кафедрой, в 1984–1991 – профессор кафедры.
Матвей Михайлович Максименко ушел из жизни 21 декабря 1999 года.
Награжден: медали «За доблестный труд в Великой Отечественной Войне 1941–1945 гг.» (1945), «За победу над Германией в Великой Отечественной Войне 1941–1945 гг.» (1945), «За отвагу» (1946), «За трудовую доблесть» (1958), «За доблестный труд в ознаменование 100-летия со дня рождения В. И. Ленина» (1970). Нагрудный знак «За отличные успехи в работе» (1975).
