Александр Михайлович родился 13 сентября 1924 года в с. Марково Бабаевского района Вологодской области. После начала Великой Отечественной войны в 1941 году ушел добровольцем на фронт, получил специальность механика. В годы войны обслужил 120 боевых вылетов, за это время не случилось ни единого выхода из строя матчасти самолетов и отмены вылетов, находящихся в ведении Александра Михайловича. Он внес много рационализаторских предложений по подвеске бомб, что значительно сократило время подготовки самолета к боевому вылету.
После демобилизации в 1949 году поступил в Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена. По завершению обучения в 1954 году, поступил в аспирантуру по кафедре физиологии человека и животных этого же вуза. Важным этапом на научном поприще для Александра Михайловича стала защита в 1959 году в специализированном ученом совете родного института кандидатской диссертации «К вопросу о динамике сердечно-сосудистых условных и безусловных рефлексов человека».
Первым местом работы Александр Михайловича в 1958 году стала научно-исследовательская лаборатория Военно-Медицинского ордена Ленина академии им. С. М. Кирова (г. Ленинград), где он трудился в течение года. Затем в 1959–1965 годах он работал младшим научным сотрудником отдела радиобиологии Института экспериментальной медицины Академии медицинских наук СССР. С 1965 года заведовал филиалом № 5 Института биофизики.
В 1967 году Александр Михайлович в специализированном совете при Военно-Медицинской ордена Ленина академии им. С. М. Кирова защитил докторскую диссертацию по теме «Механизм нейро-эндокринных влияний при радиационном воздействии и химической защите». После чего в 1968–1970 годах он переехал на работу в Калининградский государственный университет, где заведовал кафедрой физиологии человека и животных. В 1970–1973 гг. возглавлял кафедру физиологии человека и животных Белорусского государственного университета им. В. И. Ленина (г. Минск). В 1973–2001 годах – профессор кафедры физиологии человека и животворных и биофизики Симферопольского государственного университета имени М. В. Фрунзе (с 1999 года – Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского), с 1975 по 1999 годы возглавлял эту кафедру. В научной деятельности занимался вопросами на стыке магнитофизиологии и радиобиологии, изучал магнитные поля и радиорезистерность организма.
Александр Михайлович являлся действительным членом Международной академии информатизации (1995).
Был награжден: медалью «За боевые заслуги», орденом Отечественной войны II степени, почетным званием «Заслуженный работник народного образования Украины (1997) и орденом «За мужество (1999)».
Александр Михайлович Сташков ушел из жизни 14 июля 2014 года.
